济南少儿编程：用Scratch编程证明周长一定是正多边形面积最大！~山东少儿编程~少儿编程

    吴俊杰老师于17年7月初发布了一道Scratch题目，如图所示。经过4个小时的奋战，我终于搞定了这道题目。下面我对本程序进行汇整、说明：首先介绍数学反证法证明周长一定时正多边形面积最大；接着介绍Scratch反证法的思路；然后介绍程序的操作方法；最后介绍程序的数学原理以及设计思路。

    一、数学证明

    首先证明等周定理，然后利用等周定理即可得到推论：等周多边形面积最大是其正多边形。等周定理的定义：在周长一定的所有封闭平面曲线中，圆所围的面积最大。下面先来证明等周定理。证明：设K是周长一定而面积最大的图形，只要证明K是一个圆即可。以下分三步来完成。

    第一步：用反证法证明K是凸多边形。如下图所示，若K是一个凹图形， 那就一定可以在它上面找到两点A、B，其连线落在图形K的外部。以AB为轴，把曲线AmB对称到另一侧，称为曲线Am’M。图形AmBC与图形A m’BC的周长相等，而后者面积更大，这与K有最大面积矛盾。故K只能是凸图形。

    第二步：用反证法证明平分K的周长的弦也一定平分其面积。如下图所示，设凸图形K有最大面积，AB平分它的周长，且弦AB把K分成两部分Σ1和Σ2。Σ1≠Σ2，不妨设Σ1>Σ2，以AB为轴，把ACB对称到另一侧AC’B处，则周长ACBC’A等于K的周长，但面积ACBC’A>K的面积，这与K有最大面积矛盾。所以，平分K的周长的弦也一定平分其面积。

    第三步：证明平分周长、面积的弦是直径，从而K为圆。 用反证法。设AB平分K的周长和面积，在K的边界上任取一点C，只需证ACB为半圆。若不然，∠ACB≠90°，将下图左侧中的Σ1、Σ2剪下来，贴成另一个图形（下图右侧），其中A’C’=AC，B’C’=BC，∠A’C’B’= 90°。这两个图形中，曲线ACB的长等于曲线A’C’B’的长，但后者面积较大，与K有最大面积矛盾。故ACB为半圆，从而K是圆。

    于是，证得了等周定理：在所有等周的平面封闭图形中，以圆的面积为最大。下面证明周长相等的多边形中，正多边形的面积最大。

    证明：在所有周长相等的图形中，正多边形与圆形最接近，由等周定理的定义可知，正多边形的面积最大。

    二、Scratch反证法

    根据之前的证明可知正多边形面积最大，因此本程序可能的设计思想如下：

    1、展示如上数学证明思路。这样做虽然简单，但是很抽象，需要用户详细地跟随程序的指引完成证明过程。

    2、给定正多边形，让用户拖拽多边形顶点，同时保证等周的条件。如果用户找不到更大面积的情形，即反证了本题目。这样做虽然复杂，但是用户体验好，且有数学证明保证正确性。本程序选择此设计方法。

    三、程序操作说明

    四、程序数学原理

    本程序的难点在于拖拽顶点时保证等周，即周长不变。显然，椭圆的第一定义可以满足这一点：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a (2a>|F1F2|) 的动点P的轨迹叫做椭圆。即 |PF1|+|PF2|=2a。

    根据定义可知，F1P+F2P=F1P’+F2P’，这就是等周的关键。当点击某个顶点时，得到左右相邻两顶点的坐标，以此作为椭圆的两焦点，计算F1P+F2P后即可得到椭圆的各个参数，然后限制顶点P的移动再次椭圆轨迹上即可保证等周。椭圆的一般化参数方程如下：

    其中参数t决定了顶点位于椭圆线上的位置，可以设置为鼠标在舞台上的角度；参数τ是椭圆和x轴的夹角；参数a、b是椭圆的长短轴长度；(h, k) 是椭圆中心点所在坐标。

    五、程序细节展示

    本文仅展示核心脚本。当点击某个顶点后，程序会寻找该点左右相邻的两个顶点坐标：

    变量beforePointX和beforePointY是第一个相邻点（即椭圆的第一个焦点）的XY坐标，变量afterPointX和afterPointY是另一个相邻点（即椭圆的第二个焦点）的XY坐标。变量_C保存了当前顶点到两焦点的长度和，即椭圆第一定义中的2a。接着计算椭圆参数方程中的关键参数：

    变量c1c2显然是椭圆中心点位置，即参数方程中的 (h, k)；_C除以2即椭圆的半长轴a；根据椭圆a²-b²=c²可以计算变量b的值；最后计算τ，需要注意水平情况，即在椭圆未发生倾斜时，斜率公式分母为0，所以要特殊处理。得到基础数据后便可设置顶点的位置：

    变量鼠标方向就是参数方程中的t，设置为鼠标的当前方向：

    速云少儿编程致力于 4 - 18 岁，山东少儿无人机编程教育机构，速云网络研发软件工程师授课少儿编程，教给孩子们不光要学习编程，还要结合编程知识给我们无人机写程序，实现我们无人机的自动启飞、人脸识别、智能跟随，包括更加高级的编程玩法，就是无人机编舞。可能家长想了！四岁孩子能学习无人机编程吗？那我们看个四岁的小同学吧，你自己看看能不能学习吧！

我们来看一看四岁小朋友的学习视频吧！

    家长担心孩子们真的能听懂课程吗？在每节课即将结束的时候我们都会进行课程汇报展示，来看一下小童鞋的汇报成果吧！

    这个时候家长可能说了，我们四岁的孩子，年龄辣么小，又不认字，那该如何学习呢？

    其实四岁、五岁的孩子不认字怎么学习？只要孩子识别颜色就可以学习。通过颜色识别具体编程积木，比如：蓝色是运动、紫色是外观、黄色是事件等等，通过颜色识别文字，根据颜色先实现出程序做出卡通的效果，以激发孩子兴趣，使孩子产生兴趣后开始具体学习每个积木的作用，再学习积木上面的文字。如下图：

    这个时候你还认为编程难吗？其实针对4岁起，就已经可以学习编程了。通过搭积木的方式让孩子学习编程。

    当然，比如我们下面的无人机编程视频吧！

    无人机能六架一起起飞？没错！那他又和数学有什么关系呢？

    小云说啦！这是根据我们数学中的坐标轴的 x轴 y轴 初始化无人机位置，无人机与无人机之间的距离、架数的多少，全部需要通过精密的计算，否则无法编排出理想的造型。

    现在作为家长的你！还在纠结无人机编程是否对孩子有帮助吗？

无人机编程能做什么？人脸识别？智能跟随？自动飞行？还有吗？

答案：有！那就是"无人机编舞"！不知道无人机如何编舞？快看下面我们速云小童鞋的无人机编舞吧！！

    无人机编程都学习哪些内容呢？

       让无人机与编程结合？

没错！就是要让孩子“动手”+“编程”实现无人机起飞。

重点培养孩子逻辑思维能力与动手操作能力，让孩子在编写无人机程序的时，无形的锻炼孩子的逻辑思维能力和前沿科技的运用能力，在飞行学习中，孩子们需了解飞机的机械结构，练习手眼协同能力，甚至自己组装飞行器；在编程中，无人机可以在三维空间中，用摄像头完成巡线、人脸识别等人工智能任务。

例如：人脸识别，智能跟随，红外线定稿，光流定位、无人机编舞等。

看我们小童鞋们上课视频吧

    坦克编程都学习哪些内容呢？

    动手组装”+“编写程序”

    通过编程将抽象理论与实践操作合二为一，让孩子重新理解知识，体验人工智能，培养独立思考的习惯和动手解决问题的能力。

    课程涉及机器人拼装、力学等数理知识，运用六类人工智能模块，编写专属的自动驾驶算法程序，让孩子更加深入理解人工智能技术。

    例如：人脸识别、智能跟随等前沿技术。